正則な確率行列の逆行列

確率行列とは，行和が 1 な非負の正方行列のことです．確率行列 X に対して，X_{i j} を状態 i から状態 j への遷移確率と見なせば，X はマルコフ連鎖の遷移確率と見なすこともできます．

今正則な確率行列 X が与えられたとします．X の逆行列 X^-1 は行和が 1 です．証明は簡単で，全成分が 1 である列ベクトルを 1 と書くことにすると，X の行和が 1 であることから 1 = X1 で，この式の両辺に左から X^-1 をかければ X^-11 = 1 となります．

これだけでは X^-1 が確率行列とは言えません．一般に成分が負になる場合があるからです．逆行列が確率行列になるための条件は何でしょうか？ とりあえず考えつく方法として 3 つの解法があるようです．

一番簡単なのは，X と X^-1 を遷移確率行列だと思うことです．X が非決定的な遷移確率行列 (i に対して複数の j で正な値を取ることがある) の場合，X で遷移したあと，X^-1 で遷移すると，確率 1 でもとの場所に戻ってくる，などという奇妙なことは絶対に起こりません．つまり，逆行列が確率行列になるのは，X が決定的な遷移確率行列の場合だけです．行列の言葉で言い換えると X が置換行列ということになります．

正面から証明する方法もあります．X^-1 が非負行列で，X のある行 i に対して 2 つの列 j, j' で正の値をとっていると仮定します．XX^-1 は単位行列なので，i 以外のすべてのインデックス i' に対して，X の i 行目と X^-1 の i' 列目は内積が 0 です．これらは共に非負ベクトルなので，X^-1 の (j, i'), (j', i') 成分はともに 0 となります．つまり X^-1 の j, j' 行目は第 i 成分を除いて 0 となり，この 2 行は一次従属になります．これは X^-1 が正則であることに反します．よって X はどの行も 1 つの成分を除いてゼロであり，置換行列になります．

最後に，固有値からも証明できるようです．確率行列はスペクトル半径が 1 です．X^-1 は X の固有値の逆数を固有値に持つので，これらが共に確率行列となるためには，両方ともすべての固有値が長さ 1 である必要があります．つまり X は等長変換を表す行列 (直交行列) ということです．第 i 成分だけが 1 の行ベクトル v を考えると，vX のユークリッドノルムが 1 である必要があります．つまり X の第 i 行はユークリッドノルムが 1 となりますが，行和が 1 な非負ベクトルでユークリッドノルムも 1 となるのは，ある一つの成分だけが 1 というベクトル，しかありません．よって X は置換行列となります．


とまあ，きっかけがあってそんなことをちょっと考えていました．